Category: Семінар “Стохастика та її застосування”

The analysis of conventional convex hulls of random points sampled from the uniform distribution on a compact convex subset of the d-dimensional Euclidean space is the classical topic in stochastic geometry. In the past years there has been a splash of activity around various generalized concepts of convexity both in geometric and probabilistic communities. The talk is devoted to the discussion of two particular models of this kind. In the first model we consider a sample picked from the uniform distribution on the upper semi-sphere and analyze its spherical convex hull. In the second model the sample is taken from the uniform distribution in a convex body K in the d-dimensional Euclidean space and we focus on the analysis of its K-convex hull, that is, intersection of all affine translates of K which contain the sample. Considered from an appropriate viewpoint, these two models incorporating generalized notion of convexity exhibit a similar behavior which turns out to be very different from such in the classical setting

Доповідач: Alexander Marynych

Дата проведення: 8 квітня 2021 року о 13 год 15 хв.

Let \(X_1,X_2,\ldots\) be independent random vectors in \(\mathbb{R}^d\) having an absolutely continuous distribution. Consider the random walk \(S_k:=X_1+\ldots+X_k\), and let \(P_n:={\rm conv}\{0,S_1,S_2,\ldots,S_n\}\) be the convex hull of its first \(n\) steps. We shall be interested in the number of the \(k\)-dimensional faces of the polytope \(P_n\) and in particular, whether this number is equal to the maximal possible number \({n+1\choose k+1}\) with high probability, as \(n\), \(d\), and possibly also \(k\) diverge to \(\infty\). There is an explicit formula for the expected number of \(k\)-dimensional faces which involves Stirling numbers of both kinds. Motivated by this formula, we introduce a distribution, called the Lah distribution, and study its properties.

Доповідач: Zakhar Kabluchko (University of Münster, Germany)

Дата проведення: 21 квітня 2021 року о 14 год 15 хв.

Висвітлюються критерії, отримані при класифікації процесів народження та загибелі (ПНЗ). Розвиток теорії був закладений Агнером Крарупом Ерлангом у 1909 році, а найбільш відома робота датується 1917 роком. Загальну кількість дослідників, які потім розвивали цю теорію, вказати неможливо. У доступних 328 публікаціях вказані, наприклад, такі прізвища дослідників за тематикою доповіді: Феллер, Блекуел, Фрідман, Дуб, Карлін, Мак-Грегор, Чжун Кай-лай, Брокуелл, Леві, Твіді, Кейлсон, Динкін, Сато, Партасараті, Фостер, Харріс, Єнсен, Кендалл, Ледерман, Ройтер, Кінгман, Сенета, Ньютс, Розенлунд, Рьослер і Серфозо. До них слід додати імена: Ушіо Суміта, Ассаф, Шакед, Шантікумар, Масуда, Бренфорд, Уайтхорст, Браун та Ї Ші Шао, які надрукували свої роботи в останній час і в певному розумінні закрили питання про умови скінченності першого моменту виходу на нескінченність. У доповіді запропоновано пряме імовірнісне доведення критерія ергодичності процесу, яке використовує техніку каплінга. Вказано, що скінченність тривалості виходу на нескінченність еквівалентна скінченності математичного сподівання цієї тривалості, що дало можливість вказати відповідний критерій в явному вигляді.

Доповідач: Закусило О.К.

Дата проведення: 10 вересня 2021 року о 14 год 15 хв.

Запис виступу доступний за посиланням